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Aug 07, 2023

長時間にわたる微細構造平衡のための量子アニーリング

Rapporti scientifici Volume 13,

Scientific Reports volume 13、記事番号: 6036 (2023) この記事を引用

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メトリクスの詳細

我々は、形状記憶合金や、凝集粒子とそのさまざまなマルテンサイト異形体および相間の長距離弾性相互作用を持つその他の材料の平衡微細構造を決定するための量子アニーリングアプローチの使用と利点を実証します。 イジング ハミルトニアンの観点からシステムのエネルギーを定式化する必要がある一般的なアプローチを 1 次元で説明した後、粒子間の距離依存弾性相互作用を使用して、さまざまな変換固有ひずみに対するバリアント選択を予測します。 計算の結果とパフォーマンスが従来のアルゴリズムと比較され、新しいアプローチがシミュレーションの大幅な高速化につながる可能性があることが実証されています。 単純な立方体要素を使用した離散化を超えて、任意の微細構造の直接表現も可能であり、現在最大数千の粒子を使用した高速シミュレーションが可能です。

微細構造のモデリングは、さまざまな用途向けの新材料の理解、改良、開発に対する重要なアプローチです。 ただし、異なる長さと時間スケールのメカニズムが密接にリンクしているため、そのような記述とモデルの実装は一般に困難であり、膨大な計算リソースを必要とします。 微細構造の進化を予測するための最も著名な方法である位相場シミュレーション アプローチは、薄い界面限界 1、2、非対角位相場モデル 3、4、シャープな位相場アプローチ 5 などの開発から大きな恩恵を受けていますが、一定の予測を得るには大きな微細構造ドメインを含むシミュレーションが必要です。統計的な有意性はまれであり、利用可能な (スーパー) コンピューター リソースとそれに関連するコストとエネルギー消費によって大きく制限されます。 この研究分野では大きな進歩があり、シミュレーションのための並列コンピュータとグラフィックス カードの使用が拡大しているにもかかわらず、計算技術の限界は依然として基礎科学の進歩と応用研究にとって深刻な問題となっています。

材料科学モデリングの地平で生じる顕著な疑問の 1 つは、量子コンピューティングが将来的にシミュレーションの状況をどのように変える可能性があるかということです。 しかし、現時点では十分なサイズの汎用量子コンピュータはまだ存在していません。 その一方で、量子アニーリング (QA)6、7、8、9、10 として知られるテクノロジーが登場し、世界中のいくつかのサイトで利用可能になっています。 このようなマシンの使用方法は、従来のゲートベースのコンピューターとは大きく異なるため、現在、量子アニーラーで処理できるのは特定の問題のみです11。 量子アニーラーの概念は、その量子ビットが、固有の基底状態を持つハミルトニアンによって記述される明確に定義された状態で初期化されるということです12。 極低温での動作中、このハミルトニアンは基底状態が最終的な望ましいハミルトニアンの 12,13 に変換されるように断熱的に変化するため、グローバル エネルギー最小化計算を効率的に実行できるようになります。 これらのハミルトニアンの構造は 2 値 2 次モデルであり、2 次の制約のない 2 値最適化によって、または同等のイジング モデルを通じて表現できます 11。 この特殊な構造のため、これまでのところ、この技術の材料科学関連の応用はまだまれです。 代わりに、実際の研究は主に、古典的なアプローチと比較した量子アニーリングのベンチマークとパフォーマンス テストに焦点を当てています14、15、16。

最適化問題という意味で、生物学および交通研究の分野におけるいくつかの最初のアプリケーションが最近開発されました。 ここで、量子アニーリングにより、機械学習アルゴリズムを組み合わせた遺伝子発現における転写因子の効率的な分析 17、格子タンパク質モデルの立体構造の同定 18 とその折り畳み 19、航空写真における樹木被覆の検出 20、現実世界の交通流最適化問題 21 または自動化された制御の制御が可能になります。誘導車両22． しかし、材料科学における量子アニーリングの使用は広く普及しておらず、横磁場イジング モデル 23 での相転移、シャストリー サザーランド イジング モデル 24、モンテカルロ サンプリング 25 および自動化されたサンプルによるフラストレート磁石の臨界現象の研究に対応する出版物はほとんどありません。メタマテリアルの材料設計２６． したがって、本論文の目的は、この新しい技術が実際に、微細構造のモデリングに関して既存の一般的に使用されている説明を超えたまったく新しい可能性をもたらし得ることを実証することです。

できる限り明確かつ説明するために、ここではオーステナイト相とマルテンサイト相が関与するコヒーレントな固体変態のケースを示します。後者はさまざまなバリアントで現れることが許可されています。 このような転移は、低温では容易に変形する可能性がある NiTi のような形状記憶合金にとって役割を果たしますが、より高い温度に加熱すると、材料は以前の訓練された形状に戻ります 27。 形状記憶合金のスピン グラス システムへのモデリングとマッピングは、いくつかの研究ですでに確立されており 28、29、30、31 、ここでは QA アプリケーションに活用できます。 以下では、主に形状記憶合金の用語にこだわりますが、同様のアプローチを使用して、鋼、強弾性材料の変態や変形挙動、充電式電池の固体電解質の相変化などをモデル化できることを強調します。 ここで中心的な役割を果たす特定の側面は、異方性の長距離弾性相互作用であり、これは固体状態の変態に一般的です32。したがって、基底状態の配置は、相の濃度や分率だけでなく、相の詳細な微細構造の配置にも依存します。相と粒子。 典型的な位相場シミュレーション 33 では、連続体記述の精神に基づいて機械的変形の緩和とともに微細構造の進化が解決されるため、非常に長いシミュレーション時間がかかります。 ここでは、微細構造の継続的な開発と QA 処理からマルテンサイト相のさまざまな分布の離散自由度を分離することで、計算のパフォーマンスが大幅に向上し、したがって大幅に大規模なアプリケーション関連システムのシミュレーションが可能になることを示します。既存のアプローチと比較して。

単純化された 1D モデルでは、2 つの異なるバリアントが存在すると想定される「マルテンサイト」相のみを考慮します。 したがって、図1aの挿入図に示すように、微細構造はこれらのバリアントの粒子の列で構成されます。 明確にするために、両方のバリアントがオーステナイト母相に対するせん断変形を引き起こす無応力ひずみ (固有ひずみ) を持っていると仮定し、これらのバリアントを状態変数 \(s_i=\pm 1\) で表します。 最終的にはこの記述を 1 次元イジング モデルにマッピングすることになりますが、ここでは磁気モデルの精神に基づいた 2 つの可能な位置合わせを伴う「スピン」という用語も使用します。 各バリアントではセルのせん断が生じるため、スピン構成に応じて、このラインの全体的な応力のない変形が得られます (せん断歪みのないオーステナイトと比較して)。 すべての粒子が同じ高さ \(d\)、同じ弾性定数、そして反対のせん断固有歪み \(\pm \varepsilon _0\) を持っていると仮定します。 図1aの挿入図からすぐにわかるように、上部粒子 \(x_0\) の応力のない平衡位置は、配向 \(s_i=+1\) を持つバリアント \(N_+\) の数にのみ依存します。 \(N_-\) と \(s_i=-1\) は一致しますが、個々の配置には影響しません。これは、単純化された 1D モデルと選択された固有歪みの特殊性です。 したがって、固定数 \(N=N_++N_-\) が連続して回転する場合、巨視的な無応力ひずみは \(\bar{\varepsilon } = (N_+ - N_-)\varepsilon _0/N\ )、これは \(x_0 = N d \bar{\varepsilon }\) になります。 外部変形が強制された場合、つまり \(x\ne x_0\) の場合、弾性エネルギーは \(F_{el}=\mu _\text{eff} (x-x_0)^2\) となり、有効せん断弾性率は \ (\mu _\text{eff}\)。 明らかに、スピン構成が \(x=x_0\) (つまり \((N_+-N_-)_\text{min} = x/\varepsilon _0 d\) となる場合、弾性エネルギーは最小化されます。すべてのスピンが揃う飽和点まで。 この式は、以下の数値最小化アプローチとの比較の参考として役立ちます。 この段階では、バリアントの離散的な性質を無視していることに注意してください。つまり、整数値 \(N_+-N_-\) は連続値 \((N_+-N_-)_ に可能な限り近くなければなりません。 \text{min}\) 上。 単純な 1D モデルのエネルギーはバリアントの配置には依存せず、合計数 \(N_+\) と \(N_-=N-N_+\) にのみ依存しますが、ここではレベルでモデルを定式化します。後の高次元への拡張と量子アニーラーの使用のための個々の「スピン」 \(s_i\) 。 したがって、 \(N_+ - N_- = \sum _i s_i\) が得られます。 これを弾性エネルギー式に代入すると、 \(F_\text{el} = \mu _\text{eff} \varepsilon _0^2d ^2 \sum _{i,j} s_i s_j - 2\mu _\text{ となります。 eff} x \varepsilon _0 d \sum _i s_i +\mu _\text{eff} x^2\)、ここで合計はすべてのスピンにわたって実行されます。 量子アニーラーに実装するには、これをハミルトニアン H のイジング形式に変換する必要があります。

ここで、第 1 項は外部磁場 \(h_i\) との相互作用に対応し、第 2 項はスピン-スピン相互作用に対応します。これは、結合定数 \(J_{ij}\) が次の場合に強磁性 (反強磁性) 秩序を促進します。マイナス（プラス）です。 最後の、スピンに依存しない項 \(H_0\) は、無関係な加法定数にすぎません。 上の 2 つの式の比較から、 \(h_i = - 2\mu _\text{eff} x \varepsilon _0 d\) と \(J_{ij} = 2 \mu _\text{eff} \varepsilon であることがわかります。 _0^2 d ^2\)。 まず、ここでの外部変形はイジング記述における磁場に類似していることに注意してください。 第二に、スピン-スピン相互作用項 \(J_{ij}\) は正であるため、「反強磁性秩序」が有利になります。 また、この項はスピン番号 i、j には依存しません。これは、この相互作用が粒子間の距離に依存しないことを意味します。 言い換えれば、弾性相互作用は平均化された「磁化」 \(N_+-N_-\) にのみ依存し、これは平均場の相互作用を意味します。

定式化の目標は、弾性エネルギーを最小限に抑え、最適なスピンまたはバリアント構成 \(\{s_i\}\) を見つけることです。 この目的を達成するために、3 つの異なる数値アプローチを使用し (手法のセクションを参照)、その結果を上記の解析解と比較します。まず、総当りのアプローチをすべてのスピン構成に対して反復してエネルギー最小値を正確に見つけます。次に、シミュレーテッド アニーリングを使用します。確率的基底状態発見器として、そして最後に量子アニーリングアプローチとして。 図 1a は、結果として得られる「磁化」 \((N_+-N_-)/N\)、つまり平均バリアント配向を、適用された変位 \(x/d N\varepsilon _0\) の関数として示しています。イジングモデルにおける磁場。

さまざまな数値手法と解析手法を比較した 1 次元モデルの結果。 (a) 変位 \(x / d N \varepsilon _0\) の関数としての平均バリアント配向 \((N_+-N_-) / N\)。 数値最小化によって得られた結果 (実線) と無限連続システムの解析理論 (破線) の比較。 大きな変位の場合、すべての「スピン」が揃うため、「磁化」が飽和します。 挿入図は、マルテンサイトのバリアント \(s_i=+1\) (赤) と \(s_i=-1\) (緑) の一次元配置のスケッチを示しています。 下の行は位置 \(x=0\) に固定されていますが、上の粒子は応力のない状態では平均位置 \(x_0\) を持ちます。 追加の外部応力または歪みが適用されると、最上層が位置 x に移動し、微細構造全体が破線形状にせん断されます。 (b) 粒子数の関数としての経過計算時間。 さまざまな方法とアルゴリズムが比較されます。 QA 曲線の破線部分はチェーン ブレークの領域に属します。 システムサイズが大きい場合、ハイブリッド量子アニーリングアプローチのみが依然として実現可能であり、1000 未満のスピン変数に対してほぼ一定の計算時間が必要であることが示されています (挿入図)。

予想通り、結果は前述の離散化効果までは解析理論と一致していますが、粒子数が大きくなると顕著ではなくなります。 大きな変位の場合、すべてのバリアントが双晶から解放されると飽和が始まります。これは、すべてのスピンが \(+1\) または \(-1\) の状態にあることを意味します。 調査されたスピン数について、使用されたすべてのアルゴリズムが同じエネルギー最小値につながることに注目します。これは、確率論的アプローチでも実際に大域的最小状態が見つかることを裏付けています。

図 1b は、さまざまな方法とアルゴリズムに必要な計算時間をグレイン数 N の関数として示しています。従来のすべてのアルゴリズム実装は、並列化を行わないシングル コアの計算に基づいており、主に定性的な比較のために示されています。研究は量子アニーリングアプローチに関するものです。 後者の場合、可能な最大スピン数 (D-Wave マシンのペガサス アーキテクチャ 34 では通常 \(N\約 170\)) まで量子処理装置 (QPU) 実装を使用します。 すべてのスピン構成に対して反復が実行される総当りアプローチでは、計算時間が最も長くなります。 \(N\約 40\) 程度の小さなスピン系でも、シミュレーション時間のスケーリング \(\sim {{\mathcal {O}}}(2^N)\ により、実際のアプリケーションには経過ユーザー時間が大きすぎました）。 純粋な量子アニーリング手法は最速の結果を生成し、最終的にはほぼ一定の QPU アクセス時間が経過します。 全体として、\(N\約 150\) の計算は、他の従来のアプローチよりもおよそ 3 桁高速になります。 \(N\約 50\) 回転程度を超えると、いわゆるチェーン ブレーク 35 が時折発生します。 これらは、強く結合されたスピンを単一の論理スピンとしてエンコードする必要があることから生じます。 理想的には、これらのスピンは個々のスピンと同じ状態を表す必要がありますが、実際にはこの同一性が破られる可能性があります。 この問題を回避し、次のセクションの高次元モデリングに不可欠なさらに大規模なシステムをシミュレートするには、純粋な QA と従来の最小化アプローチを組み合わせたハイブリッド古典および量子アニーリング アプローチを使用できます36。 図 1b の数値結果は、純粋な QA と比較してハイブリッド ソルバーの計算時間の増加を示していますが、古典的なアルゴリズムと比較した相対的な加速はさらに顕著になります。 ハイブリッド ソルバーの場合、計算の経過時間は基本的にスピン変数の数に依存せず、\(10^3\) グレインを超えて数秒までしか増加しません。 総合すると、ハイブリッド QA は明らかに大きな粒子数に対する最速のアプローチであるため、次の 2 次元シミュレーションで使用されます。

1 次元を超える線形弾性エネルギーを決定するために、マトリックス内で形成されるさまざまなバリアントの凝集析出物を考慮します。 このように、材料全体は、さまざまなマルテンサイト状態のいずれかにある小さな実体 (以下では粒子として示されます) で構成されていると考えることができます。 可能な最も単純な (デカルト) 離散化は、辺の長さが a の小さな立方体粒子を使用することです。 すべての粒子は一貫していると仮定され（弾性変位と牽引力は粒子間の界面で連続的です）、均一な弾性を使用します。つまり、異なる相またはバリアント間の弾性定数の違いは無視されます。 これは、弾性エネルギーがすべての粒子間のペ​​アごとの相互作用の組み合わせに減少するという結果をもたらします 37。

ここではデモンストレーションの目的で、平面ひずみ設定で 2 次元シミュレーションを実行しますが、3 次元への移行は簡単です。 特に、アニーラ部分は記述の次元に依存しません。 1D を超えた質的に新しい側面は、距離と方向に依存する「スピン-スピン」相互作用の出現です。この相互作用は粒子間の距離とともにゆっくりとしか減衰しないため、完全に埋め込まれた行列 \(J_{ij}\) が得られます。 平衡微細構造を正確に予測するには、弾性相互作用エネルギーの正確な決定が不可欠であることが判明したため、方法セクションで概説したように、周期境界条件を使用したフーリエ変換アプローチを使用します。 境界条件として、周期体積 V の消失平均応力、 \(\langle \sigma _{ij} \rangle = \frac{1}{V} \int \sigma _{ij}(\textbf{r })\,d\textbf{r} = 0\)、または 1D 記述と同様に、指定された平均ひずみ \(\langle \varepsilon _{ij} \rangle\)。 以下では、簡単にするために等方性弾性を採用します。これは、たとえばラメ係数 \(\lambda\) とせん断弾性率 \(\mu\) によって記述されます。つまり、応力-ひずみ関係は \(\sigma _{ij} となります) = 2\mu (\varepsilon _{ij}-\varepsilon _{ij}^{(0)}) + \lambda \delta _{ij} (\varepsilon _{kk}-\varepsilon _{kk}^{ (0)})\)。繰り返されたインデックスに対する暗黙的な合計が使用されます。 位置依存の固有ひずみ \(\varepsilon _{ij}^{(0)}(\textbf{r})\) は、固定相依存の無応力ひずみ (オーステナイト母相に対する) を持つ特定の微細構造で知られています。 (\varepsilon _{ij}^{(0)}(\textbf{r}) = \theta (\textbf{r}) \varepsilon _{ij}^0\)、指標関数 \(\theta\ ) はオーステナイトではゼロであり、考慮された 2 つのマルテンサイト バリアントでは \(+1\) または \(-1\) のいずれかです。 方法のセクションで示すように、特定の微細構造について、弾性エネルギーを逆空間で計算できます。 イジングモデルとして定式化するには、上で説明したように小さな重なり合わない立方体粒子を使用して微細構造を離散化し、前と同様にそれらのそれぞれに「スピン」 \(s_i\) を割り当てます。これにより、指標フィールドが重ね合わせ \(\theta (\textbf{r}) = \sum _i s_i \theta _i(\textbf{r})\)、ここで \(\theta _i\) は、対応する正方形の内側では 1 に等しく、外側では 0 です。 したがって、弾性エネルギーは、ペア相互作用 (\(i\ne j\) の場合) と自己エネルギー項 (\(i=j\) の場合) に分解されます。

ここで、積分カーネル \(B(\textbf{r})\) は、弾性グリーン関数の逆関数によって定義されます。 したがって、体積 V 内の離散格子サイト上の同じマルテンサイト異形 \(s_i=s_j=1\) のすべてのペアに対してフーリエ変換エネルギー計算を実行すれば十分です。 周期的な境界条件と同一の粒子形状の場合、並進不変性により、基準粒子と他のすべての粒子の間の弾性相互作用エネルギーを計算するだけで十分です。 固定平均ひずみ境界条件の場合、追加の均一項が表示され (手法のセクションを参照)、スピン間相互作用 \(J_{ij}\) と磁場の項 \(h_i\) の両方に寄与します。これは、ゼロ平均応力境界条件では存在しません。 結果として得られる、正と負の両方のエントリを持つ結合定数の完全に実装された行列は、従来のアプローチを使用して文献で研究されているランダム結合を備えたスピン グラス システムとの類似点を持っています。例 38 を参照。

固有ひずみが純粋に膨張的で等方性であるという最も単純な場合には、ビッタークラム定理が適用され、全エネルギーはマルテンサイト異形体の体積分率のみに依存します。この場合、粒子間の相互作用は存在せず、自己エネルギー項のみが残ります 39。

自明ではない弾性相互作用と前の 1 次元記述へのリンクについては、 \(\varepsilon _{xy}^0=\varepsilon _{yx}^0=\varepsilon _0\) でせん断変形ひずみを考慮します。コンポーネントが消滅します。 この場合、図 2a に示すように、距離と方向に依存する相互作用が得られます。これは、平均応力が消滅する \(\langle \sigma _{ik}\rangle =0\) の場合について計算されています。 ここと次の部分では、ポアソン比は \(\nu =1/4\) (つまり \(\lambda =\mu\)) として選択されます。

等価バリアント型の 2 つの粒子の相互作用エネルギー (\(\mathbf {s_i=s_j}\))。 (a) せん断固有ひずみと消失平均応力、および (b) 正方晶固有ひずみの場合の相互作用エネルギー。 長さごとの相互作用エネルギーは \(\lambda a^3 \varepsilon _0^2\) の単位で与えられ、計算は \(L_x/a=L_y/a=50\) のシステム サイズを使用して行われました。 a は粒子のエッジの長さです。 \(r/a=0\) の距離で粒子は互いに接触します。 連続曲線上の記号は、アニーラー シミュレーションで実際に使用される、離散格子サイトでの相互作用の情報を示します。

相互作用エネルギーは、オーステナイト母相内の 2 つの (孤立した) マルテンサイト粒子のそれぞれの弾性自己エネルギー \(E_\text{self}\) を総弾性エネルギー \(E_\text{el}\) から引くことによって得られます。 2 つの粒子の配置、つまり \(E_\text{int}=E_\text{el}-2E_\text{self}\) を計算して、大きな粒子の分離では相互作用エネルギーがゼロに減衰するように相互作用エネルギーを正規化します。 短距離の場合、 \(\langle 100\rangle\) 方向では引力と反発の間の遷移が見られますが、対角線の \(\langle 110\rangle\) 方向では純粋に反発的な相互作用が生じます。 周期的な境界条件により、粒子は周期的な画像とも相互作用するため、結果は系のサイズ \(V=L_x\times L_y\) に依存します。したがって、観察するには \(r\ll L_x, L_y\) が必要です。相互作用の衰退。

二次元では相互作用エネルギーは \(r^{-2}\) として漸近的に減衰するのに対し、三次元では大規模な系では \(r^{-3}\) としてスケールされることに注意してください。これは弾性グリーンの機能40． 量子アニーラーの実装では、相互作用エネルギーは離散格子点 (曲線上のシンボル) にのみ必要です。 弾性相互作用の減衰は、実空間で特定の距離を超えると弾性相互作用を遮断することを示唆するかもしれませんが、最終的には無効な平衡微細構造につながるため、そのようなアプローチは不適切であることが判明しました。交互作用項 \(J_{ij}\) を高精度で計算し、スプリアス効果を回避します。 量子アニーラーの定式化は次元に依存しないため、図1bのスケーリングプロットがここでも同様に適用されることに注意してください。

弾性相互作用の計算に基づいて、平衡構造として \(\langle 100\rangle\) 方向のハイブリッド ソルバー ストライプ パターンを備えた量子アニーラー上のイジング モデルの実装から得られます。 これらのパターンは、ストライプの幅が均一ではないという意味で不規則です。 これは、上で説明した 1D モデルに似ていますが、2 つのバリアントの配置が決定されていないことがわかりました。 この偶然の一致は、物理的に予想されるものですが、モデルの定式化からは自明ではありません。(i) 1D モデルでは、離散化モデルで距離に依存しない相互作用がありました。ここでの相互作用は大幅に複雑ですが、合計すると同じ効果が得られます。周期的な配置の説明。 (ii) パターンの 90 度の回転が可能であり、個別の回転対称性により最適な構成から得られる場合があります。 (iii) 1D 定式化における所定の平均ひずみと比較して平均応力を固定すると、異なるバリアントの不均等な分布が生じる可能性があります。 特に、現在考えられている外部ひずみの不在 (イジング用語で磁場の消失を意味します) の場合、平均スピン配列に対する \(\langle s_i\rangle = 0\) のような制約はありません。 すべてのストライプ構成はエネルギー的に同等であり、これには単一のバリアント構成の可能性が含まれます。 したがって、これらの結果は、ペアワイズ分解による弾性相互作用計算の精度と、真の基底状態配置を識別する量子アニーラーの能力を同時に確認します。

次の例として、非消失成分 \(\varepsilon _{xx}^0=-\varepsilon _{yy}^0=\varepsilon _{zz}^0=\varepsilon _0\) のみを持つ正方晶固有ひずみを使用します。 まず、平均応力が消滅する状況 \(\langle \sigma _{ij}\rangle = 0\) を再度考えます。 \(\nu =1/4\) の対応する相互作用エネルギーを図 2b に示します。 この場合、周期系の弾性エネルギーがゼロであるため、平衡微細構造は自明であり、単一のバリアントで構成されます。 したがって、状況は前のせん断変形とは異なり、両方のバリアントによるラメラ配置も応力のない状況につながります。 その理由は、2 つのバリアント間の境界が正方晶変換の場合の隣接するバリアント間の不一致につながるためであり、したがって、このような状況はここではエネルギー的に好ましくないからです。 境界条件を平均ひずみの消滅 \(\langle \varepsilon _{ij}\rangle =0\) に変更すると、状況が変わります。これは、両方の変量を等量含む配置が好ましいためです。これにより、ひずみの体積部分が低下します。弾性エネルギー。 この場合、図3aに示すように、平衡パターンとして規則的な傾斜縞が見つかります。

正方晶固有ひずみの結果として得られるストライプ パターン。 (a) \(50\×50\) 立方体粒子からなる系内の 3 つのストライプ ペア (横軸に沿って数えた) を持つ平衡構造。 消失平均ひずみ \(\langle \varepsilon _{ij}\rangle =0\) が課されます。 ストライプの幅は均一で、構成 \(s_i=+1\) (赤) と \(s_i=-1\) (緑) の粒子で構成されています。 (b) 異なる傾斜角を持つストライプパターンの弾性エネルギー \(\phi .\) 実線の曲線は滑らかなストライプに対応し (粒子サイズ \(a/L_x, a/L_y\ll 1\) は無視できます)、境界にねじれがなくパターンが周期的に繰り返される傾斜の顕著な静止点。 正方形は、ストライプの数が同じ状況に対応します。システムは \(50\times 50\) 個の二次粒子によって離散化されているため、顕著なエイリアシング効果が生じ、結果として生じる弾性エネルギーは滑らかなストライプの場合よりも高くなります。 これにより、\(\phi \about 40^\circ\) にある 6 つのストライプ ペアのエネルギー最小値が、3 つのストライプ ペアのより低い角度 \(\phi \about 33^\circ\) にシフトします。 滑らかなストライプに対する無限のシステム サイズ制限は、黒い点線の曲線として示されています。

繰り返しますが、解決策は一意ではありません。 特に、変換の不変性により、アニーラーはストライプがシフトされた構成も返します。 また、傾斜角 \(\phi\) (図の定義を参照) の符号を切り替えると、エネルギー的に等価な解が得られます。 しかし、以前のせん断変形の場合とは対照的に、異なる（絶対）傾斜角やストリップ幅、あるいは後者の不規則な変化をもたらす基底状態の構成は見つかりません。

観察された基底状態の形態の理由は、連続弾性効果、材料の粒状構造、および周期的な境界条件によって引き起こされる制約の組み合わせです。 図3bは、周期系におけるストライプの規則的な配置の数を変えて計算された弾性エネルギーを、傾斜角 \(\phi\) の関数として示しています。 ここでは、粒子サイズの顕著な影響が見られます。 \(50\times 50\) 粒子 (図の四角形) で離散化された規則的なストライプのペアを持つ構成の弾性エネルギーは、非常に細かい粒子を含む対応するケースよりも高いためです。 、ここでは離散化効果はもう役割を果たしません (滑らかな曲線)。 振動の性質は周期的な境界条件によるもので、傾斜角の選択が不適切だと境界でのストライプ パターンの不連続が生じ、エネルギー的に好ましくありません。 したがって、連続パターンは曲線の静止点に対応します。 特定の角度については、3 つおよび 6 つのストライプ ペアの曲線が極小値で交わります。これは、線形弾性のスケール不変性の結果です。 滑らかな連続限界曲線から、約 \(\phi \about 40^\circ\) の角度がエネルギー的に最も低い配置 (滑らかな赤い曲線の絶対最小値) につながるはずであると結論付けることができます。 さらに、周期的境界条件がもはや役割を果たさない無限系の極限では、解析的処理が可能となり、エネルギー表現 \(E_\text{el}^\infty = VB(n)/2\ が導かれます。 ) 2 つのバリアントの等しい体積分率を表します。

\(n=\cos \phi\) となります。 エネルギーを最小化すると、最適な角度 \(\phi =\cos ^{-1}\sqrt{5/8}\およそ 37.8^\circ\) が得られます。図 3b (黒い点線の曲線の最小値) を参照してください。

ただし、これらの予測は、\(\phi \about 33^\circ\) のより低い角度で 3 つのストライプ ペアを備えた構成を支持する量子アニーラーの発見とは一致しません。 アニーラー シミュレーションの微細構造は \(50\× 50\) の正方形の粒子で構成されているため、この観察は、ここで調査したパターンの粒状構造を考慮することで理解できます。 まず、長さスケール a の明示的な出現により、周期パターンのスケール不変性が崩れるため、離散微細構造に属するエネルギー曲線の最小値 (図 3b の四角形) は極小値で一致しなくなります。 さらに、傾斜が増加すると、パターンのアンチエイリアシング効果がより重要になるため、エネルギー曲線は連続体限界曲線との不一致を示します。 その結果、離散微細構造におけるエネルギー最小値は実際に \(\phi \about 33^\circ\) (図 3b の青い四角の絶対最小値) にある 3 つのストライプ ペアを持つ構成に向かってシフトします。これは一致しています。量子アニーラーの予測と。 その結果、特に弾性エネルギーの多くの極小値が互いに近くに位置するため、粒状構造の詳細により、完全な連続体近似と比較してエネルギー特性が変化する可能性があります。

上記のアプローチは、相互に作用する直方体粒子に限定されず、現実的な微細構造にも適用できます。 手順を説明するために、ボロノイ テッセレーション 41 を使用して \(N=400\) 粒子からなる微細構造を生成しました。 各粒子は、正方晶固有ひずみテンソルを持つ 2 つのマルテンサイト バリアントのうち 1 つを選択することができ、それらの間のすべての相互弾性相互作用を事前に計算します。 ここでは、周期的配列の立方体粒子の場合とは反対に、粒子の形状が異なるために並進不変性を利用できないことに注意してください。したがって、これらの弾性相互作用エネルギーの計算は、ここでは \({{\mathcal {O}}以前の \({{\mathcal {O}}}(N)\) の代わりに }(N^2)\) を使用しましたが、依然として周期境界条件を使用しています。 さらに、任意の与えられた外部ひずみ \(\langle \varepsilon _{ij}\rangle\) を考慮します。これにより、1 次元の記述のような「磁気」項が出現します。 これにより、ハイブリッド量子アニーラーを使用して微細構造内の平衡変異体の分布を予測できます。このステップは通常、実行時間の数秒以内に実行されます。

平衡微細構造の例は、外部から加えられたひずみ \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle\) の関数として図 4 に示されていますが、他の平均ひずみ成分は消失します。

均一な粒子配向をもつ平衡バリアント分布が得られます。 微細構造は 400 個の粒子で構成されており、水平 (x) 方向に引張ひずみが加えられます。 赤（緑）の粒子はバリアント \(s_i=+1\) (\(s_i=-1\)) に対応します。 引張ひずみは、(a) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 0\)、(b) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 0.1\ )、(c) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 0.5\)、(d) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 0.9\)、 (e) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 1.1\) および (f) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 1.3\)。

観察された微細構造は確かに二乗離散化を使用する前に発見したものと似ていますが、ここでは微細構造の詳細と粒子数の少なさによりバンド幅と配向が前のケースから逸脱しており、これらの効果は同様の解析を使用して説明できます。図 3b で行われたものと同じです。 これらの微細構造ではすべての粒子が同じ配向をしているため、引張ひずみの適用は粒子バリアント \(s_i=+1\) の選択に非常に有利であることに注意してください (圧縮状況では反対の挙動が観察されます)。最後のスナップショットでは、すべてのバリアントが完全に一致していることがわかります。

さらに、均一に分布したランダムな配向を持つ粒子に対しても同じ解析を実行しました。これは、局所的な変態ひずみテンソルの回転を意味します。粒子の配向とバリアントの選択については、図 5 を参照してください。

結果として得られるランダムな粒子配向を持つ平衡バリアント分布。 (a) 微細構造に対応する結晶粒方位マップ。 カラー バーでは、粒子の回転角度はラジアン (対称性のため \(\pi\) を法とする) で示されます。 回転軸は[001]方向に沿っています。 微細構造は 400 個の粒子で構成されており、水平 (x) 方向に引張ひずみが加えられます。 粒子はランダムな配向を持ち、これは均一な分布に基づいてすべての場合で同じです。 水平方向の引張ひずみは、(b) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 0\) および (c) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 2.1\)。 赤（緑）の粒子はバリアント \(s_i=+1\) (\(s_i=-1\)) に対応します。

ここでは、変異体の平衡空間分布も不規則であるように見えます。 引張ひずみを適用すると、再びバリアントの「整列」が促進されますが、今回は、たとえ高いひずみであっても、すべての粒子が同じバリアントを選択するわけではありません。これは、局所的な回転によるものです。 実際、ひずみの方向に対して \(90^\circ\) だけ回転した粒子は、変形状態 \(s_i=-1\) になることが優先されます。これは、膨張の方向が一致するためです。外部引張ひずみ。 これは、たとえば、x 方向の最大引張ひずみの図 5(c) で明確に見ることができます。「スピン」 \(s_i=-1\) を持つ残りのパッチは、 \(\pi に近い配向を持つ粒子に対応します) /2\) (または \(3\pi /2\))。 特定の微細構造 (すべての粒子の形状) について、相互の弾性粒子間の相互作用は 1 回だけ計算する必要があることを強調します。 前述したように、このステップは高精度で実行する必要があるため、最も多くの計算時間を必要とするステップとなります。 その後、外部境界条件のすべての変更は、交互作用 \(J_{ij}\) と \(h_i\) に寄与する \(k=0\) モードにのみ影響し、これらの項は解析的に計算できます (メソッドを参照)セクション）。 ハイブリッド量子アニーリングの各計算には通常、数秒しか必要としないため、機械的負荷中の微細構造変化全体を非常に高速に計算できます。

本論文の中心的な結果は、量子アニーリングによる微細構造の最適化であり、従来のエネルギー最小化戦略と比較して、新しいアプローチのパフォーマンス上の明らかな利点を示しています。 強引なアプローチは推奨されませんが、最適化されたシミュレーテッド アニーリング アルゴリズムでは良好な結果が得られます。 ただし、量子アニーリングは、特に粒子 (スピン) の数が多く、結合定数とバイアスが消失しないシステムの場合、最適化問題に対して最も高速な方法であり、アクセスできないシステム サイズの基底状態構成を決定することができます。合理的な計算時間スケールでの古典的なアルゴリズムの場合。

N 個の粒子で構成される系の場合、\({{\mathcal {O}}}(N^2)\) のスピン間相互作用を計算する必要があります。 これらの弾性エネルギーの計算は高精度で実行する必要があるため、全体の計算時間の大半を占めます。 その後、平衡配置を特定するために \({{\mathcal {O}}}(2^N)\) スピン配置を比較する必要があります。 従来のアルゴリズムの場合、この組み合わせステップは、N の値が低い場合にすでに総計算量の大部分を占めています。対照的に、量子アニーラーまたはそのハイブリッド変形では、イジング エネルギー式の最小化のための計算時間は、弾性相互作用に比べて完全に無視できます。エネルギーの計算。 したがって、我々は、QA が長距離弾性相互作用を伴う固相における微細構造平衡状態の探索を大幅に最適化できることを実証しました。 すでに今日では、ハイブリッド量子アニーリングの使用により、相互に相互作用する数千個の粒子を含む微細構造の計算が可能になり、これはさまざまな材料内部の微細構造の現実的なモデリングに不可欠です。

多くのアプリケーション関連の調査では、モデルが量子コンピューティングに適しているかどうか、またそのモデルをどのように定式化できるかを理解することが重要です。 ここでは、長距離の弾性相互作用の特定のケースについてこれを実証しました。 界面エネルギー、複数のマルテンサイトのバリアント、異方性弾性、結晶粒と相の間の配向関係、および異なる空間次元の考慮への拡張は、イジング モデルの観点から問題を定式化する提示された戦略に概念的に影響を与えないため、明らかです。 不均一な弾性と自由表面への近接性は、効果的に多体相互作用を引き起こす可能性があり、そのためには摂動的な拡張またはプロダクト スピン変数の導入が有望な方向性となります 37,42。 純粋な弾性効果を超えて、さらなる潜在的な用途には、多相固体電池の相変化、高張力鋼または強誘電体のような他の材料の相変態が含まれます。 全体として、連続自由度と離散自由度の分離と後者の量子処理は、計算時間を大幅に削減する効率的な方法でバリアント選択と粒子形態の進化を組み合わせるハイブリッド位相場と量子アニーリング記述にも有益である可能性があります。アプリケーション関連のサンプルサイズに対する既存のアプローチの説明。

汎用量子コンピューターと同様に、量子アニーラーは量子ビットから構築され、ここでは超伝導ループを使用して情報を保存および処理します。 このようなループ内の時計回りまたは反時計回りの循環電流は、異なるスピン状態を表します12。 各量子ビットでは、超伝導ループが外部磁束バイアスと相互作用し、磁束が障壁の高さとエネルギー差に影響を与えるエネルギーランドスケープの構築を可能にします12。 計算の開始時に、システムはパウリ行列 \(\sigma _i\) を使用した既知のハミルトニアン \(H_0\sim -\sum _i \sigma _i^x\) の基底状態、つまり強い横行列で初期化されます。磁場13,43。 アニーリング プロセス中に、ハミルトニアンは、スピン状態 \(s_i=\pm 1) を持つイジング モデル 11 \(H_p = \sum _ih_is_i+\sum _{i

実際には、このアプローチは常に最低エネルギー状態を提供するとは限りません。特にエネルギー的に近い低エネルギー状態が存在する場合は、適切な回数の繰り返しが行われ、検出されたエネルギーが最も低い構成が採用されます。 イジング問題が QPU のアーキテクチャと一致しない場合、チェーンとして知られる結合量子ビットのサブグラフが、いわゆるマイナー エンベディングで問題の 1 つの変数をカバーします 36,46。 さらに、巨大システムの場合、ハイブリッド量子アニーリングは、D-Wave Advantage システムで最大 11616 個のスピン変数の汎用パラメーターを操作する QPU コプロセッサーを使用して、計算需要の高い領域で古典的なアルゴリズムと量子アニーリングとの相互作用を利用します 36,47。 実際には、D-Wave フレームワーク Leap48 を使用すると、イジング ハミルトニアンの問題に関して直接定式化できます。

N 個のスピンについて、すべての \(2^N\) 個の可能な構成のエネルギーを計算して、最小値を決定します。 この決定論的なアプローチは真の基底状態エネルギーを提供しますが、計算量が多くなります。

この確率論的なアプローチでは、ランダムな初期構成が選択されます49。 ここで 1 回のスピン フリップによって生成される新しい候補構成は、そのエネルギーが前の値よりも低い場合に受け入れられます。 エネルギーが \(\Delta E\) だけ高い場合、その構成は、ボルツマン係数 \(\exp (-\Delta E/T)\) によって与えられる確率で受け入れられます。局所エネルギー最小値。 シミュレーション中、温度 T は、シミュレーション終了時にエネルギー最小値に向かって収束するために、特定の冷却戦略に従って低下します。 私たちの主な目標は、(古典的な) アルゴリズムのパフォーマンスを最大化することではなく、一般的なスケーリング動作を実証することであるため、確率的シミュレーテッド アニーリング アプローチのパラメーター最適化についての詳細な説明は控えます。 これには、特に、エネルギーのさらなる減少が起こらない場合の適切な停止基準の使用や、問題に適応した冷却戦略の使用が含まれます。 シミュレートされたアニーリング手法では、各反復でシングル スピン フリップ試行を使用し、温度 T はそのたびに \(\Delta T/\mu _\text{eff}\varepsilon _0^2d ^2 = 10^{-) ずつ減少します。 6}\)、大規模なシステムサイズでも優れたパフォーマンスを実現します。 シミュレーションは、固定数の \(10^{7}\) ステップ後に停止されます。これは、図 1b の \(N=150\) で考慮される最大のスピン系に最適化されており、計算時間のスケーリングにつながります。相互作用エネルギーの計算により \(\sim N^2\) になります。

均一な線形弾性を使用してマルチグレイン設定の弾性問題を解決します。つまり、すべてのバリアントと位相が同じ弾性定数を持つと仮定されます。 また、コヒーレントな界面が仮定されており、これは界面での変位の連続性を意味します。 マルテンサイトのバリアントは、母オーステナイト相と比較して異なる無応力ひずみ (または固有ひずみ) を持っているため、応力-ひずみ関係は一般的な線形弾性を読み取ります \(\sigma _{ij} = \lambda _{ijkl}(\varepsilon _{ kl}-\varepsilon _{kl}^{(0)})\)、ここで \(\varepsilon _{kl}^{(0)}(\textbf{r})\) は局所無応力ひずみテンソルです\(\lambda _{ijkl}\) は弾性テンソルです。 フーリエ変換手法を使用して、バルク領域の条件 \(\partial \sigma _{ij}/\partial x_j=0\) と界面での法線応力の連続性に従う弾性平衡構成を決定します32。 そこから、弾性エネルギーは逆空間で次のように計算できます。

境界条件として消失平均応力を持つ周期系の場合、\(\hat{\theta }(\textbf{k})\) は指示フィールド \(\theta (\textbf{r})\ のフーリエ変換です。 ) および \(B(\textbf{n})\) \(\textbf{n}=\textbf{k}/k\) は \(B(\textbf{n}) = \sigma _{ij} と等しくなります^0\varepsilon _{ij}^0 - n_i \sigma _{ij}^0 \Omega _{jk} \sigma _{kl}^0 n_l\) with \(\sigma ^0_{ij}=\lambda _{ijkl}\varepsilon _{kl}^0\)。 ここで、 \(\Omega _{ij}(\textbf{n})\) は変位の正規化されたグリーン テンソルであり、その逆関数によって \(\Omega _{ik}^{-1} = \lambda として定義されます) _{ijkl}n_j n_l\)。 式の合計は (3) は実空間の周期境界条件による離散ベクトルです。 総和は原理的には無限であり、装飾技術を使用して効率的に計算できます50。 平均的なひずみ境界条件、つまり \(\langle \varepsilon _{ij}\rangle\) の規定値の場合、追加の均一 (\(\textbf{k}=0\)) の寄与が式 (1) に現れます。 (3)、\(E_\text{hom} = V \lambda _{ijkl} (\langle \varepsilon _{ij}\rangle - \langle \varepsilon _{ij}^{(0)}\rangle) となります。 ) (\langle \varepsilon _{kl}\rangle - \langle \varepsilon _{kl}^{(0)}\rangle )/2\)、これは分析的に計算できます。

このプロジェクト中に取得されたデータは、要求に応じて責任著者によって提供されます。

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この研究は、Meet HiEnD 3 プロジェクトおよび Helmholtz プロジェクト ZeDaBase を通じてドイツ連邦教育研究省 (BMBF) から資金提供を受けました。 オープンアクセスは、Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG、ドイツ研究財団) - 491111487 によって資金提供されました。著者らは、コンピューティングを提供することでこのプロジェクトに資金を提供したユーリッヒ スーパーコンピューティング センター (https://www.fz-juelich.de/ias/jsc) に感謝の意を表します。 D-Wave \(\hbox {Advantage}^{\text{TM}}\) システム JUPSI での時間は、Jülich UNified Infrastructure for Quantum Computing (JUNIQ) を通じて得られます。

Projekt DEAL によって実現および組織されたオープンアクセス資金調達。

材料の構造と機能、エネルギー・気候研究所、Forschungszentrum Jülich GmbH、52425、ユーリッヒ、ドイツ

ローランド・サント & ロバート・スパチェック

パリサクレー大学、ONERA、CNRS、微細構造研究研究所、92320、シャティヨン、フランス

ヤン・ル・ブアール

JARA-ENERGY、52425、ユーリッヒ、ドイツ

ロバート・スパチェック

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R.Sa.、YLB、R.Sp. 分析および数値計算、方法論、視覚化、分析に貢献しました。 著者全員が原稿の執筆に協力しました。

ローランド・サントへの通信。

著者らは競合する利害関係を宣言していません。

シュプリンガー ネイチャーは、発行された地図および所属機関における管轄権の主張に関して中立を保ちます。

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Sandt, R.、Le Bouar, Y. & Spatschek, R. 長距離弾性相互作用による微細構造平衡のための量子アニーリング。 Sci Rep 13、6036 (2023)。 https://doi.org/10.1038/s41598-023-33232-w

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受信日: 2023 年 1 月 24 日

受理日: 2023 年 4 月 10 日

公開日: 2023 年 4 月 13 日

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科学レポート (2023)

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